Formeln umstellen

Vor allem in technischen Bereichen ist es sehr oft notwendig, gegebene Formeln oder auch Formeln, die man aus einer Textangabe berechnet hat, nach einer bestimmtem Unbekannten umzustellen.

Am häufigsten kommt wohl der erstgenannte Fall vor: Man hat eine bestimmte Formel aus einer Formelsammlung entnommen und muss nun die gegebenen Werte in die Formel einsetzen. Dabei ist aber nicht immer derselbe Wert gesucht, oft muss nach dem gesuchten Teil „umgeformt“ oder „umgestellt“ werden.

Ein sehr einfaches Beispiel wäre das Ohm’sche Gesetz:

Spannung = Widerstand × Stromstärke

\(U=R\cdot I\)

Falls die Spannung \(U\) gesucht ist und die anderen Werte gegeben sind, ist man bereits fertig, die Werte für den Widerstand \(R\) und die Stromstärke \(I\)  können eingesetzt werden. Falls jedoch zu einer gegebenen Spannung \(U\) und einer Stromstärke \(I\) der Widerstand \(R\) gesucht wird, muss die Formel nach dieser Größe umgestellt werden.

Dabei geht man immer nach dem selben Prinzip vor: Bei einer Gleichung (oder Formel) steht in der Mitte immer das Gleichheitszeichen \(=\). Das bedeutet ja nichts anderes als: auf der linken Seite steht etwas, dass dem auf der rechten Seite gleich ist.

\(\large{\underbrace{ \text{Linke Seite} = \text{Rechte Seite}}_{\text{Gleichung}} }\)

Man muss also auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Rechenoperationen anwenden, um die gesuchte Größe schließlich alleine auf eine Seite zu bringen. Und das geht natürlich nicht nur mit reinen Zahlen, sondern auch mit abstrakten Rechengrößen wie Buchstaben usw.

Im obigen Beispiel (Ohm’sches Gesetz) ist das noch einfach:

\(\begin{align}U & =R\cdot I\quad \quad |\,:I \\ \frac{U}{I} & =R\cdot \underbrace{{\frac{I}{I}}}_{{=\,1}}\\R & =\frac{U}{I}\end{align}\)

Um das \(R\) alleine auf eine Seite zu bringen, wird auf beiden Seiten der Gleichung durch die Stromstärke \(I\) dividiert. Dieser Rechenschritt wurde hier rechts neben der Formel notiert. Auf der linken Seite erhalten wir \(\frac{U}{I}\), und auf der rechten Seite fällt nun das \(I\) weg, weil \(\cdot I\) und \(:I\) einander aufheben (\(\frac{I}{I} = 1\)). Da wir auf beiden Seiten dasselbe berechnet haben, ändert sich die Aussage der Gleichung nicht, und wir erhalten für den Widerstand

\(R=\frac{U}{I}\)

Natürlich darf man die Formel umdrehen, d.h. die Seiten vertauschen. Sicherlich ist dieses Beispeil sehr einfach. Bei komlexeren Formeln muss man aber durchaus aufpassen, um immer konsequent auf beiden Seiten der Gleichung die selbe Rechenoperation durchzuführen und dabei keinen Fehler zu machen.

Betrachten wir die Formel für die Kreisfläche. Gegeben sei die Fläche \(A\) eines Kreises, und man möchte den Durchmesser \(d\) ermitteln. Dazu müssen wir die bekannte Formel \(\displaystyle A=\frac{{{{d}^{2}}\pi }}{4}\) nach dem Durchmesser \(d\) umstellen:

\(\begin{align}A & =\frac{{{{d}^{2}}\pi }}{4}\quad \quad |\,\cdot 4\\4A & ={{d}^{2}}\pi \quad \quad \,\, |\,:\pi \\\frac{{4A}}{\pi } & ={{d}^{2}}\quad \quad \quad |\sqrt{\quad}\\d & =\sqrt{{\frac{{4A}}{\pi }}}\end{align}\)

In der ersten Zeile haben wir mit dem Faktor \(4\) multipliziert, in der zweiten Zeile durch die Kreiszahl \(\pi\) dividiert. Übrig bleibt auf der rechten Seite der Durchmesser zum Quadrat, also zieht man auf beiden Seiten noch die Quadratwurzel, und der Durchmesser \(d\) ist somit berechnet. Dass die Quadratwurzel eigentlich immer zwei Lösungen liefert (\(\displaystyle \pm \) den Wert), ist hier ohne Bedeutung, da es keinen negativen Durchmesser gibt.

„Herausheben“ bzw. „Ausklammern“

Ein Trick, der beim Umstellen von Formeln immer wieder vorkommt, ist das „Herausheben“ oder „Ausklammern“. Ist ein Faktor gemeinsam in mehreren Termen vorhanden, kann er als multiplikativer Faktor herausgehoben werden.

\(\displaystyle \begin{align}a\cdot b-c\cdot b & =d\\b\cdot (a-c) & =d\end{align}\)

Terme, die mit Klammern zusammengefasst sind, dürfen beim Umstellen als „gemeinsamer Wert“ betrachtet werden:

\(\displaystyle \begin{align}b\cdot \left( {a-c} \right) & =d\\b & =\frac{d}{{\left( {a-c} \right)}}\end{align}\)

Hier wurde durch den Term \((a-c)\) dividiert.

Rechnen mit dem „Kehrwert“

Bei Brüchen ist es oft ganz nützlich, mit dem Kehrwert zu rechnen. Das geht aber nur, wenn auf beiden Seiten der Gleichung nur mehr ein Bruch steht!

Bei sowas wie

\(\displaystyle \frac{1}{{a\cdot b}}=\frac{1}{c}\)

kann sofort auf beiden Seiten der Kehrwert gebildet werden, d.h. Zähler und Nenner können „vertauscht“ werden:

\(\displaystyle \frac{1}{{a\cdot b}}=\frac{1}{c}\quad \Rightarrow \quad \frac{{a\cdot b}}{1}=\frac{c}{1}\quad \Rightarrow \quad a\cdot b=c\)

Bei Summen muss man aber aufpassen, z.B.

\(\displaystyle \frac{a}{x}+\frac{b}{y}=\frac{1}{c}\)

Will man hier z.B. das \(\displaystyle x\) berechnen, kann man so vorgehen:

\(\begin{align}{}\frac{a}{x}+\frac{b}{y} & =\frac{1}{c}\\ \frac{a}{x} & =\frac{1}{c}-\frac{b}{y}\end{align} \)

Jetzt muss die Summe auf der rechten Seite auf den selben Nenner gebracht werden:

\(\displaystyle \begin{align}{}\frac{a}{x}&=\frac{y}{{c\cdot y}}-\frac{{b\cdot c}}{{c\cdot y}}\\\frac{a}{x}&=\frac{{y-b\cdot c}}{{c\cdot y}}\end{align}\)

Nun steht auf beiden Seiten nur mehr ein Bruch, es kann nun der Kehrwert gebildet werden:

\(\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{{c\cdot y}}{{y-b\cdot c}}\)

\(\displaystyle x=\frac{{a\cdot c\cdot y}}{{y-b\cdot c}}\)


Betrachten wir die fiktive Formel

\(\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \right)=\frac{{3p}}{{1-q}}\), bei der man nun \(q\) ermitteln muss.

Man könnte nun auf beiden Seiten mit dem Nenner der rechten Seite \((1-q)\) multiplizieren

\(\displaystyle \left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \right)\cdot \left( {1-q} \right)=3p\)

Jetzt müsste man auf der linken Seite die Klammern ausmultiplizieren und alle Terme, in denen kein \(q\) vorkommt, auf die rechte Seite bringen:

\(\displaystyle {{u}^{2}}+{{v}^{2}}-{{u}^{2}}\cdot q-{{v}^{2}}\cdot q=3p\quad \quad |\,-{{u}^{2}}\,\,|\,-{{v}^{2}}\)

\(\displaystyle -{{u}^{2}}\cdot q-{{v}^{2}}\cdot q=3p-{{u}^{2}}-{{v}^{2}}\)

Jetzt kann man links das \(q\) als gemeinsamen Faktor herausheben und dann durch die entstandene Klammer dividieren

\(\displaystyle q\cdot \left( {-{{u}^{2}}-{{v}^{2}}} \right)=3p-{{u}^{2}}-{{v}^{2}}\quad \quad |\,:\left( {-{{u}^{2}}-{{v}^{2}}} \right)\)

\(\displaystyle q=\frac{{3p-{{u}^{2}}-{{v}^{2}}}}{{\left( {-{{u}^{2}}-{{v}^{2}}} \right)}}\)

Das ist aber alles viel zu kompliziert! Man kann hier am Beginn auf beiden Seiten der Gleichung sofort den Kehrwert hinschreiben (auf beiden Seiten steht nur ein Bruch). Auf der linken Seite kann man sich ja im Nenner eine \(1\) notieren:

\(\displaystyle \frac{{\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \right)}}{1}=\frac{{3p}}{{1-q}}\)

Der Kehrwert sieht dann so aus:

\(\displaystyle \frac{1}{{\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \right)}}=\frac{{1-q}}{{3p}}\)

Wir haben auf beiden Seiten den Kehrwert gebildet, und nun steht rechts das gesuchte \(q\) im Zähler des Bruches. Wir mutiplizieren auf beiden Seiten mit \(3p\) und erhalten

\(\displaystyle \frac{{3p}}{{\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \right)}}=1-q\)

Wir bringen das \(q\) auf die linke Seite und die gesamte linke Seite durch Abziehen nach rechts

\(\displaystyle \frac{{3p}}{{\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \right)}}=1-q\quad \quad |\,+q\quad |\,-\frac{{3p}}{{\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \right)}}\)

\(\displaystyle q=1-\frac{{3p}}{{\left( {{{u}^{2}}+{{v}^{2}}} \right)}}\)

Wir erhalten das Ergebnis schneller und auch schöner ;)


Nachstehend findet man ein paar Beispiele zum Lösen von Gleichungen nach einem gesuchten Wert. Bei allen Beispielen ist eine Schritt-für-Schritt Lösung angegeben. Man versuche selbst, die Lösungen zu finden, bevor man auf „Lösung“ klickt!

Beispiel

Berechne die gesuchte Variable!

\(4r(1-d)-2d(1+r)=5r\quad \quad \quad d=?\)

Lösung mit Erklärung

\(4r(1-d)-2d(1+r)=5r\)

Wir multiplizieren zuerst die Klammern aus.

\(\displaystyle 4r-4rd-2d-2rd=5r\)

Auf der linken Seite können wir \(\displaystyle -4rd\) und \(\displaystyle -2rd\) zusammenfassen.

\(\displaystyle 4r-6rd-2d=5r\)

Wir bringen die \(\displaystyle 4r\) nach rechts, indem wir sie abziehen.

\(\displaystyle -6rd-2d=r\)

Auf der linken Seite können wir den Faktor \(\displaystyle 2\cdot d\) herausheben. Am besten heben wir gleich \(\displaystyle -2\cdot d\) heraus

\(\displaystyle -2d\left( {3r+1} \right)=r\)

Jetzt können wir durch \(\displaystyle -2\) bzw. \(\displaystyle \left( {3r+1} \right)\) dividieren

\(\displaystyle d=-\frac{r}{{2\left( {3r+1} \right)}}\)

[collapse]
Beispiel

Berechne die gesuchte Variable!

\(\displaystyle {{\left( {2r-4} \right)}^{2}}-4\left( {r+2} \right)=4\left( {{{r}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)\quad \quad \quad r=?\)

Lösung mit Erklärung

\(\displaystyle {{\left( {2r-4} \right)}^{2}}-4\left( {r+2} \right)=4\left( {{{r}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)\)

Zunächst sieht es so aus, als ob die Gleichung gar nicht linear wäre, da wir ein \(r^2\) sehen. Manchmal heben sich solche Terme aber weg, wenn man erst einmal zu rechnen beginnt….

Wir sehen zunächst ganz links ein Binom der Form \((a-b)^2\) und wissen, dass \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) ist.

Das \(a\) ist hier das \(2r\) und das das \(b\) ist die \(4\).

\(\displaystyle {{\left( {2r-4} \right)}^{2}}=\left( {{{{\left( {2r} \right)}}^{2}}-2\cdot 2r\cdot 4+{{4}^{2}}} \right)=4{{r}^{2}}-16r+16\)

Alle anderen Klammer kann man normal ausmultiplizieren, und wir erhalten

\(\displaystyle 4{{r}^{2}}-16r+16-\left( {4r+8} \right)=4{{r}^{2}}-4{{x}^{2}}\)

Wir sehen, dass auf beiden Seiten der Gleichung \(4r^2\) vorkommt, also fällt das schon mal weg, wir können ja auf beiden Seiten \(-4r^2\) rechnen. Vor der Klammer auf der linken Seite müssen wir das Minus berücksichtigen, also

\(\displaystyle \bcancel{{4{{r}^{2}}}}-16r+16-\left( {4r+8} \right)=\bcancel{{4{{r}^{2}}}}-4{{x}^{2}}\)

\(\displaystyle -16r+16-4r-8=-4{{x}^{2}}\)

Wir fassen auf der linken Seite die Terme mit \(\displaystyle r\) sowie die Zahlen zusammen.

\(\displaystyle -20r+8=-4{{x}^{2}}\)

Jetzt können wir die gesamte Gleichung durch \(\displaystyle 4\) dividieren, da alle Faktoren durch \(\displaystyle 4\) teilbar sind.

\(\displaystyle -5r+2=-{{x}^{2}}\)

Die \(\displaystyle 2\) wird nach rechts gebracht.

\(\displaystyle -5r=-{{x}^{2}}-2\)

Vor allen Termen der Gleichung steht nun ein Minus, also können wir die gesamte Gleichung mit \(\displaystyle -1\) multiplizieren.

\(\displaystyle 5r={{x}^{2}}+2\)

Und schließlich dividieren wir durch \(\displaystyle 5\)

\(\displaystyle r=\frac{{{{x}^{2}}+2}}{5}\)

[collapse]
Beispiel

Berechne die gesuchte Variable!

\(\displaystyle w=\frac{1}{2}v\cdot \left( {1-\frac{{1+k}}{{1+\tfrac{a}{b}}}} \right)\quad\quad b=?\)

Lösung mit Erklärung

Zunächst mal multiplizieren wir auf der rechten Seite die Klammer aus.

\(\displaystyle w=\frac{v}{2}-\frac{v}{2}\cdot \frac{{1+k}}{{1+\tfrac{a}{b}}}\)

Nun bringen wir den negativen Term auf der rechten Seite nach links und das \(w\) von der linken Seite nach rechts.

\(\displaystyle +\frac{v}{2}\cdot \frac{{1+k}}{{1+\tfrac{a}{b}}}=\frac{v}{2}-w\)

Auf der rechten Seite bringt man auf den selben Nenner.

\(\displaystyle \frac{{v\cdot \left( {1+k} \right)}}{{2\cdot \left( {1+\tfrac{a}{b}} \right)}}=\frac{{v-2w}}{2}\)

Man sieht, dass die \(2\) auf beiden Seiten im Nenner vorkommt, also kürzt sie sich weg.

\(\displaystyle \frac{{v\cdot \left( {1+k} \right)}}{{1+\tfrac{a}{b}}}=v-2w\)

Das gesuchte \(b\) steht nun auf der linken Seite im Nenner. Wir bilden auf beiden Seiten den Kehrwert der Terme, vertauschen also Zähler und Nenner (Der Zähler auf der rechten Seite wird dann eine \(1\)).

\(\displaystyle \frac{{1+\tfrac{a}{b}}}{{v\cdot \left( {1+k} \right)}}=\frac{1}{{v-2w}}\)

Wir multiplizieren mit dem Nenner der linken Seite und erhalten

\(\displaystyle 1+\frac{a}{b}=\frac{{v\cdot \left( {1+k} \right)}}{{v-2w}}\)

Jetzt bringen wir die \(1\) von links nach rechts.

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{{v\cdot \left( {1+k} \right)}}{{v-2w}}-1\)

Damit man den Trick mit dem Kehrwert nochmal machen kann, müssen wir auf der rechten Seite alles auf den selben Nenner bringen.

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{{v\cdot \left( {1+k} \right)}}{{v-2w}}-\frac{{v-2w}}{{v-2w}}=\frac{{v\cdot \left( {1+k} \right)-\left( {v-2w} \right)}}{{v-2w}}\)

Jetzt bilden wir wieder auf beiden Seiten den Kehrwert der Brüche.

\(\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{{v-2w}}{{v\cdot \left( {1+k} \right)-\left( {v-2w} \right)}}\)

Wir multiplizieren die Gleichung mit \(a\) und rechnen auf der rechten Seite noch den Nenner aus.

\(\displaystyle b=a\cdot \left( {\frac{{v-2w}}{{v+v\,k-v+2w}}} \right)\)

Ein \(v\) im Nenner fällt weg und wir erhalten

\(\displaystyle b=a\cdot \left( {\frac{{v-2w}}{{v\,k+2w}}} \right)\)

[collapse]