astronomie_at
ástron = Stern, nómos = Gesetz
Im Folgenden soll gezeigt werden, wie sich der Wert der Zeitgleichung (ZGL) im Laufe der Jahrunderte verändert.
Für die konkrete Berechnung sei der interessierte Leser verwiesen auf
Es geht hier um den Verlauf der Kurve innerhalb des jeweils eingestellten Jahres. Alle Werte werden für den Zeitpunkt Jahr/Datum um 00:00 \( TD \) (dynamische Zeit) berechnet. Durch Verschieben des Jahres-Reglers zeigt sich die Änderung der Kurve im Laufe der Jahrhunderte.
Die Kurve, die den Verlauf der ZGL im Laufe eines Jahres darstellt ist bekannt und in vielen Astronomiebüchern zu finden. Gegenwärtig (2022) hat die Kurve ein tiefes Minimum nahe dem 11. Februar, ein hohes Maximum nahe dem 3. November und ein sekundäres Maximum und Minimum um den 14. Mai bzw. am 26. Juli. Der Verlauf der ZGL ändert sich jedoch im Laufe der Jahrhunderte allmählich, weil sich die Schiefe der Ekliptik, die Exzentrizität und die Länge des Perihels der Erdbahn langsam ändern.
Die nachstehende interaktive Grafik zeigt den Verlauf der ZGL von −2000 bis +5000. Auf der vertikalen Skala werden die Daten in Abständen von fünf Minuten angegeben. Man sieht zum Beispiel, dass das Minimum im Februar in ferner Zukunft weniger tief sein wird.
☑ Die Schieberegler lassen sich auch mit den Pfeiltasten ← → der Tastatur bewegen, wenn der entsprechende Schieberegler angeklickt ist.
Zu beachten ist, dass die Jahreszählung für negative Jahre hier astronomisch erfolgt:
\( -43 = 44 \) v.Chr,
\( -1246 = 1247 \) v.Chr. usw.
Schön zu sehen ist hier auch der Sprung um 10 Tage, wenn man vom Jahr 1582 n.Chr. auf das Jahr 1583 n.Chr. (oder auch von 1500 auf 1600 usw.) wechselt. Im Zuge der Gregorianischen Kalenderreform wurden die Tage zwischen dem 4.10.1582 und dem 15.10.1582 ausgelassen.
Im Jahr 1246 n.Chr., als das Perihel der Sonne mit der Wintersonnenwende zusammenfiel, war der Graph der ZGL bezüglich der Nulllinie genau symmetrisch: Das Minimum des Februars war genau so tief wie das Maximum im November hoch war, und das kleinere Mai-Maximum war genau so hoch wie der tiefste Wert des Juli-Minimums.
Zwischen 1600 und 2100 n.Chr. variieren die Extremwerte der Zeitgleichung, wie in der unten stehenden Tabelle gezeigt wird. Dies sind mittlere Werte: Die Berechnung basiert auf einer ungestörten elliptischen Bewegung der Erde, und die Nutation wurde hier nicht berücksichtigt. Die Werte weichen daher von der obigen Applikation etwas ab.
Tabelle: Haupt- und Nebenminima/maxima
(Quelle: Meeus AA, S.187)
| Jahr | Februar-Minimum | Mai-Maximum | Juli-Minimum | November-Maximum |
|---|---|---|---|---|
| 1600 | -15m 01s | +4m 19s | -5m 40s | +16m 03s |
| 1700 | -14m 50s | +4m 09s | -5m 53s | +16m 09s |
| 1800 | -14m 38s | +3m 59s | -6m 05s | +16m 15s |
| 1900 | -14m 27s | +3m 50s | -6m 18s | +16m 20s |
| 2000 | -14m 15s | +3m 41s | -6m 31s | +16m 25s |
| 2100 | -14m 03s | +3m 32s | -6m 44s | +16m 30s |
| 1246 | -15m 39s | +4m 58s | -4m 58s | +15m 39s |
Wenn die mittlere Sonne den Meridian des Beobachters durchläuft, ist dort mittlerer Mittag. Wahrer Mittag ist jener Moment, in dem die wahre Sonne den Meridian durchläuft. Die ZGL ist die Differenz zwischen der wahren Ortszeit \( WOZ \) und mittleren Ortszeit \( MOZ \). Mit anderen Worten, die ZGL ist die Differenz zwischen den Stundenwinkeln der wahren Sonne und der mittleren Sonne.
\[\Large E = WOZ - MOZ \]
Im englischen Sprachraum wird oft der Buchstabe \( E \) für "Equation of time" verwendet. Aufgrund der Exzentrizität ihrer Umlaufbahn und in viel geringerem Maße aufgrund der Störungen durch den Mond und die Planeten variiert die heliozentrische Länge \( L \) der Erde nicht gleichmäßig. Daraus folgt, dass die Sonne die Ekliptik mit einer ungleichförmigen Geschwindigkeit durchläuft. Aus diesem Grund und auch dadurch, dass sich die Sonne in der Ekliptik und nicht entlang des Himmelsäquators bewegt, nimmt die Rektaszension \( \alpha_{\odot} \) der Sonne nicht gleichmäßig zu.
Man stelle sich eine erste fiktive Sonne vor, die sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang der Ekliptik bewegt und mit der wahren Sonne am Perihel und Aphel zusammenfällt (Sonnennähe bzw. Sonnenferne).
Weiters betrachtet man eine zweite fiktive Sonne, die sich mit konstanter Geschwindigkeit den Himmelsäquator entlang bewegt und mit der ersten fiktiven Sonne zu den Tag-Nacht-Gleichen zusammenfällt. Diese zweite fiktive Sonne ist die mittlere Sonne, und ihre Rektaszension \( \alpha_{\odot} \) nimmt definitionsgemäß gleichmäßig zu.
Definiert man also diese mittlere Sonne wie beschrieben, ergibt sich ein Zeitunterschied, der durch folgende Formel beschrieben werden kann:
\(\large E = {L_0} - 0.0057183 - {\alpha _ \odot } + \Delta \psi \cdot \cos \varepsilon \)
In dieser Gleichung ist die Konstante \( 0.0057183^{\circ} \) die Summe aus dem Mittelwert der Aberration in Länge \( -20.49552^{"} \) und der Korrektur zur Reduktion auf das FK5-System (Fundamental-Katalog), \( -0.09033^{"} \).
\( \alpha_{\odot} \) ist die scheinbare Rektaszension der Sonne, berechnet unter Berücksichtigung der Aberration und der Nutation. Die Größe \(\Delta \psi \cdot \cos \varepsilon \), wobei \(\Delta \psi \) die Nutation in Länge und \( \varepsilon \) die wahre Schiefe der Ekliptik ist, wird benötigt, um die scheinbare Rektaszension der Sonne auf das Äquinoktium des Datums zu beziehen, ebenso wie die mittlere Länge \( L_0 \).
In der gegebenen Formel sollten die Größen \( L_0, \alpha_{\odot}, \Delta \psi \) in Grad ausgedrückt werden. Damit wird auch die ZGL in Grad ausgedrückt. Sie kann dann durch Multiplikation mit 4 in Minuten umgewandelt werden. \(\left( {360^\circ = {{24}^h}\; \Rightarrow 1^\circ = \;{4^m}} \right)\)
Die oben angegebene Vorgehensweise entspricht der exakten Berechnung der ZGL. Sie setzt jedoch genaue Berechnungen der Erdkoodinaten voraus, z.B. nach der VSOP87 oder einer anderen Planetentheorie, was schnell aufwändig werden kann. Auf dieser Seite wird daher ein einfacherer Algorithmus verwendet, der schneller ist, jedoch immer noch sehr gute Ergebnisse liefert. Die Genauigkeit der ZGL schwankt hier etwa im Bereich \( \pm 4 \) Sekunden (Gleichung von Smart).
Der hier verwendete Algorithmus zur Berechnung der ZGL stammt aus J. Meeus Astronomical Algorithms, 2nd ed., Kapitel 28, Methode von W.M.Smart. Dieser Algorithms verwendet zur Berechnung eine Reihenentwicklung für die mittlere Anomalie \( M \) und die mittlere Länge \( L_0 \) der Sonne, sowie die Werte der Ekliptikschiefe \( \varepsilon \) und der Exzentrizität \( e \) der Erdbahn. Der Wert der ZGL wird bei Smart mit \( E \) bezeichnet und in Radiant ausgegeben.
\(\large \begin{align} E &= y \cdot \sin (2{L_0}) \\ &- 2 \cdot e \cdot \sin (M) \\ &+ 4 \cdot e \cdot y \cdot \sin (M) \cdot \cos (2{L_0}) \\ &- \tfrac{1}{2} \cdot {y^2} \cdot \sin (4{L_0}) \\ &- \tfrac{5}{4} \cdot {e^2} \cdot \sin (2M) \\ \end{align} \)
Dabei sind mit der julianischen Tagzahl \( JD \):
Die Winkelwerte für \( \varepsilon, L_0, M \) werden hier in in Grad berechnet. Für die ZGL \( E \) achte man auf die Argumente innerhalb der Sinus- bzw. Cosinusfunktionen. Die meisten Programmiersprachen benötigen Radiant-Werte als Argumente der trigonometrischen Funktionen.
Die Umrechnung des Ergebnisses von \( E \) in Grad erfolgt mittels Multiplikation mit \( \tfrac{180}{\pi} \), danach wird durch \( 15 \) dividiert, um den Zeitwert in Stunden zu erhalten. Dieser wird schließlich in Minuten und Sekunden umgewandelt, um die Ausgabe in [mm:ss] zu erhalten. Die Genauigkeit liegt etwa bei \( \pm 4s \) für Daten im Zeitraum \( -2000 \) bis \( +5000 \).
Der Wert der ZGL für den hier dargestellten Jahres-Bereich liegt immer innerhalb des Intervalls \( \pm 20 \) Minuten.